Допустим, у вас есть инвестиционная идея с положительным математическим ожиданием. Вы посчитали fair value, нашли margin of safety, понимаете риски. Остался один практический вопрос: сколько от портфеля вкладывать?
«1% — слишком мало, не двинет портфель. 50% — слишком много, один промах и катастрофа». Где середина? Интуитивно люди называют 5%, 10%, 20% — но интуиция не отвечает, почему именно эта цифра.
На этот вопрос есть точный ответ. Его дал Джон Келли в 1956 году, опубликовав статью с длинным названием "A New Interpretation of Information Rate" в Bell System Technical Journal. Формула Kelly — это размер ставки, при котором долгосрочная геометрическая доходность вашего капитала максимальна.
Discrete Kelly: дискретная форма
Базовая форма Kelly работает для бинарной ставки: вы либо выигрываете b единиц на 1 единицу риска, либо теряете эту единицу. Это годится для блэкджека, спортивных ставок, бинарных «выиграл/проиграл» катализаторов в акциях.
Канонический пример: смещённая монета
Монета падает «орлом» с вероятностью 60% и «решкой» с 40%. На «орла» выплачивается 1 к 1 (b = 1). Сколько ставить?
Kelly говорит: ставьте 20% капитала на каждый бросок. На горизонте в 1000 бросков эта стратегия растит капитал быстрее любой другой — но только если у вас действительно есть преимущество p = 0.6.
Что если b ≠ 1
Допустим, у акции есть катализатор: с вероятностью 55% она вырастет на 30% (b = 1.5), с вероятностью 45% упадёт на 20% (loss = 1). Здесь дробное расширение:
Kelly предлагает поставить 25% портфеля. На вид много — но математика говорит, что это оптимум для долгосрочного геометрического роста.
«Оптимум для геометрического роста» — это математический факт. Но он предполагает, что (1) ставку можно повторить много раз, (2) вы точно знаете p и b, (3) у вас есть либо неограниченный временной горизонт, либо запас на просадки. На практике каждое из этих предположений нарушается, и поэтому используется fractional Kelly (см. ниже).
Continuous Kelly: для акций и портфелей
Дискретная форма годится для бинарных ставок. Но акции — это непрерывная переменная: они могут вырасти на 5%, 10%, 30%, упасть на 8%. Для таких распределений используется continuous Kelly, выведенная Робертом Мертоном в 1969:
Числитель — это excess return (избыточная доходность над безрисковой). Знаменатель — variance (мера риска). По сути, Kelly говорит: размер позиции пропорционален Sharpe ratio, делённому на волатильность. Или эквивалентно: «сколько чистой доходности на единицу риска вы получаете».
Канонический пример: S&P 500
Исторический S&P 500: μ ≈ 10%, Rf ≈ 4%, σ ≈ 18% (σ² = 0.0324).
Kelly формально предлагает держать 185% капитала в индексе — то есть с плечом 1.85×. Это и есть основание для leveraged ETF (типа SSO, UPRO). Но смотрите следующий раздел про то, почему это теоретическое число и почему практики никогда так не делают.
Чем больше вы зарабатываете «сверх безрискового» — тем больше Kelly хочет вложить. Чем выше волатильность — тем меньше. Если волатильность удваивается, оптимальный вес уменьшается в 4 раза (потому что σ² в знаменателе). Это очень важный момент: увеличение риска снижает оптимальный размер позиции непропорционально сильно.
Fractional Kelly: почему практики ставят меньше
Если Kelly — это математический оптимум, почему серьёзные практики (Торп, Симонс, Далио, Баффет) ставят меньше? Три причины:
1. Параметры неизвестны точно
Kelly предполагает, что вы знаете p, μ, σ. На практике вы их оцениваете по выборке. Если ваша оценка μ оптимистична на 2 п.п., размер по Kelly может оказаться вдвое больше реально оптимального. Эстимационная ошибка заставляет ставить меньше.
2. Реальные распределения толще-хвостые
Kelly выведена для лог-нормального распределения. Реальные акции имеют fat tails: события «−40% за месяц» происходят гораздо чаще, чем предсказывает Gaussian. На полном Kelly один такой хвост может стереть годы накоплений.
3. Просадки психологически невыносимы
На полном Kelly типичная просадка — 50%+. Большинство людей паникуют и фиксируют убыток. Меньшие позиции — больший шанс, что вы досидите до восстановления.
Стандартное решение — fractional Kelly: ставить долю от полного. Самые популярные дроби:
| Дробь | % от полного Kelly | % от роста полного Kelly | % от риска полного Kelly |
|---|---|---|---|
| Half Kelly | 50% | ~75% | ~25% |
| Quarter Kelly | 25% | ~44% | ~6% |
| Eighth Kelly | 12.5% | ~23% | ~1.5% |
Half Kelly — это «бесплатный обед» money management: вы жертвуете 25% теоретического роста, но снижаете риск (vol of vol) в 4 раза. Quarter Kelly даёт 44% роста при 1.5% риска относительно full Kelly. Это и есть причина, по которой институциональные практики (включая нашу методологию) используют дроби — соотношение risk/reward на дроби лучше, чем на полном Kelly.
Интерактивный калькулятор Kelly
Введите вероятность выигрыша и payoff ratio (для дискретной формы) или ожидаемую доходность и волатильность (для continuous) — увидите full Kelly и все полезные fractional уровни. Симуляция роста показывает, что fractional на длинном горизонте выигрывает.
Синтетический пример: применение в портфеле
После полного DCF + Reverse DCF + Монте-Карло вы получили:
- Ожидаемая 5-летняя доходность акции: CAGR 14%
- Rf (5Y Treasury): 4.2%
- Стандартное отклонение возвратов (из Монте-Карло): 25%/год
- Conviction level (по вашей шкале): MEDIUM (⅛ Kelly)
Full Kelly:
f* = (0.14 − 0.042) / 0.25² = 0.098 / 0.0625 = 1.568 = 157%
Применяем conviction-фракцию ⅛: 157% × 0.125 = 19.6%
Применяем portfolio cap (3% PRO-cap):
Final position weight = min(19.6%, 3.0%) = 3.0%
В типичном случае размер по Kelly «упирается» в portfolio cap. Это нормально и желательно — cap защищает от концентрационного риска, который не моделируется в Kelly.
Kelly даёт вам верхнюю границу размера позиции. Реальный sizing = min(Kelly × conviction-фракция, portfolio cap, sector cap, liquidity cap). В нашей методологии Cashalot 2.0 conviction-уровни: HIGH = ½ Kelly, MEDIUM = ¼, LOW = ⅛, NONE = 0. Portfolio cap = 3% на тикер, sector cap = 15%, cash buffer ≥ 10%.
Когда применять Kelly — и когда нет
Подходит, когда:
- У вас действительно есть edge (положительное матожидание) — Kelly не создаёт его, а только оптимально его эксплуатирует.
- Ставка повторяется много раз: long-term portfolio, систематические стратегии, OPM с длинным горизонтом.
- Вы можете оценить параметры (p, b или μ, σ) с разумной точностью — то есть у вас есть данные или модель.
- У вас есть психологическая выносливость к большим просадкам ИЛИ вы используете fractional Kelly.
Не подходит, когда:
- One-shot решения. Kelly оптимален в долгом периоде. На единичной ставке Kelly может быть слишком агрессивным.
- Параметры неопределённы. Если оценка μ имеет SE в 5 п.п. — Kelly даёт огромный диапазон. Используйте Bayesian Penalty.
- Капитал нужен скоро. Просадки 30–50% полного Kelly несовместимы с горизонтом 1–2 года.
- Маржинальные ставки. Kelly > 100% подразумевает плечо, что вводит риск разорения при единичном fat tail.
Типичные ошибки
- Использовать полный Kelly. Главная ошибка. Полный Kelly предполагает идеальную оценку параметров, отсутствие fat tails и неограниченный горизонт. Ни одно из этих условий не выполняется. Минимум — Half Kelly. Институционально — Quarter или Eighth.
- Завышенная оценка вероятности. Все люди переоценивают свои навыки. Если вы думаете p = 60%, реальная p часто 52–55%. Понижайте свою p на 5 п.п. перед расчётом — это эмпирически калибрует overconfidence.
- Не учитывать корреляции в портфеле. Если у вас 10 позиций по 5% каждая, но все они в технологическом секторе с β=1.5 — это не 10 разных ставок. Это одна гигантская ставка на tech. Считайте Kelly с учётом корреляций (matrix form), или используйте sector caps.
- Применять Kelly к leverage-инструментам без поправки. Если actively trading с плечом 2× или leveraged ETF — даже малый Kelly fraction может быть смертельно опасным. На leverage применяйте только ⅛ Kelly или меньше.
- Менять размер позиции после каждой ставки. Kelly предполагает, что вы регулярно ребалансируете на текущий капитал. Если ставите фиксированную сумму вне зависимости от текущего capital — формула не работает; используйте более простые правила.
Использовать Kelly в реальном портфеле
В наших Custom Research-отчётах position size автоматически рассчитывается по conviction-fractional Kelly и сравнивается с portfolio caps. Видите оптимальный вес одной строкой.
Резюме
Kelly Criterion — это математически оптимальный размер ставки для максимизации долгосрочного геометрического роста. Discrete форма: f* = (bp − q) / b. Continuous: f* = (μ − Rf) / σ². В чистом виде Kelly слишком агрессивен из-за эстимационных ошибок и fat tails — поэтому практики используют fractional Kelly: ½, ¼ или ⅛ от полного.
В институциональной методологии (включая нашу Cashalot 2.0) Kelly применяется как верхняя граница sizing, а реальный вес позиции = min(fractional Kelly, portfolio cap, sector cap). Это балансирует математическую оптимальность с устойчивостью к неопределённости.
Хотите глубокий разбор Kelly в применении к вашему портфелю?
В Custom Research-отчёте мы вычисляем full Kelly из Монте-Карло (10 000 путей), conviction-фракцию из NLP-анализа отчётности и финансовых метрик, и финальный sizing с учётом всех portfolio caps.
Заказать Custom Research →